基于CPS变换的尾递归转换算法

前言

众所周知，递归函数容易爆栈，究其原因，便是函数调用前需要先将参数、运行状态压栈，而递归则会导致函数的多次无返回调用，参数、状态积压在栈上，最终耗尽栈空间。

一个解决的办法是从算法上解决，把递归算法改良成只依赖于少数状态的迭代算法，然而此事知易行难，线性递归还容易，树状递归就难以转化了，而且并不是所有递归算法都有非递归实现。

在这里，我介绍一种方法，利用CPS变换，把任意递归函数改写成尾调用形式，以continuation链的形式，将递归占用的栈空间转移到堆上，避免爆栈的悲剧。
需要注意的是，这种方法并不能降低算法的时间复杂度，若是指望此法缩短运行时间无异于白日做梦

下文先引入尾调用、尾递归、CPS等概念，然后介绍Trampoline技法，将尾递归转化为循环形式（无尾调用优化语言的必需品），再以sum、Fibonacci为例子讲解CPS变换过程（虽然这两个例子可以轻易写成迭代算法，没必要搞这么复杂，但是最为常见好懂，因此拿来做例子，免得说题目都得说半天），最后讲通用的CPS变换法则

看完这篇文章，大家可以去看看Essentials of Programming Languages相关章节，可以有更深的认识

文中代码皆用JavaScript实现

尾调用 && 尾递归

先来探讨下在什么情况下函数调用才需要保存状态

像Add(1, 2)、MUL(1, 2)这种明显不需要保存状态，

像Add(1, MUL(1, 2))这种呢？计算完MUL(1, 2)后需要返回结果接着计算Add，因此计算MUL前需要保存状态

由此，可以得到一个结论，只有函数调用处于参数位置上，调用后需要返回的函数调用才需要保存状态，上面的例子中，Add是不需要保存状态，MUL需要保存

尾调用指的就是，无需返回的函数调用，即函数调用不处于参数位置上，上面的例子中，Add是尾调用，MUL则不是
写成尾调用形式有助于编译器对函数调用进行优化，对于有尾调用优化的语言，只要编译器判断为尾调用，就不会保存状态

尾递归则是指，写成尾调用形式的递归函数，下面是一例

fact_iter = (x, r) => x == 1 ? 1 : fact_iter(x-1, x*r)

而下面的例子则不是尾递归，因为fact_rec(x-1)处于*的第二个参数位置上

fact_rec = x => x == 1 ? 1 : x * fact_rec(x-1)

因为尾递归无需返回，结果只跟传入参数有关，因此只需用少量变量记录其参数变化，便能轻易改写成循环形式，因此尾递归和循环是等价的，下面把fact_iter改写成循环：

function fact_loop(x)
{
    var r = 1
    
    while(x >= 1)
    {
        r *= x
        x--;
    }
    
    return r;
}

CPS ( Continuation Passing Style )

要解释CPS，便先要解释continuation，
continuation是程序控制流的抽象，表示后面将要进行的计算步骤

比如下面这段阶乘函数

fact_rec = x => x == 1 ? 1 : x * fact_rec(x-1)

显然，计算fact_rec(4)之前要先计算fact_rec(3)，计算fact_rec(3)之前要先计算fact_rec(2)，...
于是，可以得到下面的计算链：

1 ---> fact_rec(1) ---> fact_rec(2) ---> fact_rec(3) ---> fact_rec(4) ---> print

展开计算链后，再从前往后执行，就可以得到最终结果。

对于链上的任意一个步骤，在其之前的是历史步骤，之后的是将要进行的计算，因此之后的都是continuation
比如，对于fact_rec(3)，其continuation是fact_rec(4) ---> print
对于fact(1)，其continuation是fact_rec(2) ---> fact_rec(3) ---> fact_rec(4) ---> print

当然，上面的计算链不需要我们手工展开和运行，程序的控制流已经由语法规定好，我们只需要按语法写好程序，解释器自动会帮我们分解计算步骤并按部就班地计算

然而，当现有语法无法满足我们的控制流需求怎么办？比如我们想从一个函数跳转至另一个函数的某处执行，语言并没有提供这样的跳转机制，那便需要手工传递控制流了。

CPS是一种显式地把continuation作为对象传递的coding风格，以便能更自由地操控程序的控制流

既然是一种风格，自然需要有约定，CPS约定：每个函数都需要有一个参数kont，kont是continuation的简写，表示对计算结果的后续处理

比如上面的fact_rec(x)就需要改写为fact_rec(x, kont)，读作 “计算出x阶乘后，用kont对阶乘结果做处理”

kont同样需要有约定，因为continuation是对某计算阶段结果做处理的，因此规定kont为一个单参数输入，单参数输出的函数，即kont的类型是a->b

因此，按CPS约定改写后的fact_rec如下：

fact_rec = (x, kont) => x == 1 ? kont(1) : fact_rec(x-1, res => kont(x*res))

当我们运行fact_rec(4, r=>r)，就可以得到结果24

模拟一下fact_rec(3, r=>r)的执行过程，就会发现，解释器会先将计算链分解展开：

fact_rec(3, r=>r)
fact_rec(2, res => (r=>r)(3*res))
fact_rec(1, res => (res => (r=>r)(3*res))(2*res))
(res => (res => (r=>r)(3*res))(2*res))(1)

当然，这种风格非常反人类，因为内层函数被外层函数的参数分在两端包裹住，不符合人类的线性思维

我们写成下面这种符合直觉的形式

1 ---> res => 2*res ---> res => 3*res ---> res => res

链上每一个步骤的输出作为下一步骤的输入

当解释器展开成上面的计算链后，便开始从左往右的计算，直到运行完所有的计算步骤

需要注意到的是，因为kont承担了函数后续所有的计算流程，因此不需要返回，所以对kont的调用便是尾调用
当我们把程序中所有的函数都按CPS约定改写以后，程序中所有的函数调用就都变成了尾调用了，而这正是本文的目的
这个改写的过程就称为CPS变换

需要警惕的是，CPS变换并非没有状态保存这个过程，它只是把状态保存到continuation对象中，然后一级一级地往下传，因此空间复杂度并没有降低，只是不需要由函数栈帧来承受保存状态的负担而已

CPS约定简约，却可显式地控制程序的执行，程序里各种形式的控制流都可以用它来表达（比如协程、循环、选择等），
所以很多函数式语言的实现都采用了CPS形式，将语句的执行分解成一个小步骤一次执行，
当然，也因为CPS形式过于简洁，表达起来过于繁琐，可以看成一种高级的汇编语言

Trampoline技法

经过CPS变换后，递归函数已经转化成一条长长的continuation链

尾调用函数层层嵌套，永不返回，然而在缺乏尾调用优化的语言中，并不知晓函数不会返回，状态、参数压栈依旧会发生，因此需要手动强制弹出下一层调用的函数，禁止解释器的压栈行为，这就是所谓的Trampoline

因为continuation只接受一个结果参数，然后调用另一个continuation处理结果，因此我们需要显式地用变量v、kont分别表示上一次的结果、下一个continuation，然后在一个循环里不断地计算continuation，直到处理完整条continuation链，然后返回结果

function trampoline(kont_v)  // kont_v = { kont: ..., v: ... }
{
    while(kont_v.kont)
        kont_v = kont_v.kont(kont_v.v);
    
    return kont_v.v;
}

kont_v.kont是一个bounce，每次执行kont_v.kont(kont_v.v)时，都会根据上次结果计算出本次结果，然后弹出下一级continuation，然后保存在对象{v: ..., kont: ...}里

当然，在bounce中用bind的话，就不需要构造对象显式保存v了，因为bind会将v保存到闭包中，此时，trampoline变成：

function trampoline(kont)
{
    while(typeof kont == "function")
        kont = kont();
    return kont.val;
}

用bind改写会更简洁，然而，因为想要求的值有可能是个function，我们需要在bounce里用对象{val: ...}把结果包装起来

具体应用可看下面的例子

线性递归的CPS变换：求和

求和的递归实现：

sum = x => { if(x == 0) return 0; else return x + sum(x-1) }

当参数过大，比如sum(4000000)，提示Uncaught RangeError: Maximum call stack size exceeded，爆栈了！

现在，我们通过CPS变换，将上面的函数改写成尾递归形式：

首先，为sum多添加一个参数表示continuation，表示对计算结果进行的后续处理，

sum = (x, kont) => ...

其中，kont是一个单参数函数，形如 res => ...，表示对结果res的后续处理

然后逐情况考虑：

当x == 0时，计算结果直接为0，并将kont应用到结果上,

sum = (x, kont) => { if(x == 0) return kont(0); else ... }

当x != 0时，需要先计算x-1的求和，然后将计算结果与x相加，然后把相加结果输入kont中，

sum = (x, kont) => { 
       if(x == 0) return kont(0); 
       else return sum( x - 1, res => kont(res + x) ) };
}

好了，现在我们已经完成了sum的CPS变换，大家仔细看看，上面的函数已经是尾递归形式啦。

现在还有最后的问题，怎么去调用？比如要算4的求和，sum(4, kont)，这里的kont应该是什么呢？

可以这样想，当我们计算出结果，后续的处理就是把结果简单地输出，因此kont应为res => res

sum(4, res => res)

把上面的代码复制到Console，运行就能得到结果10

下面我们模拟一下sum(3, res => res)的运作，以对其有个直观的认识

sum( 3, res => res )
sum( 2, res => ( (res => res)(res+3) ) )
sum( 1, res => ( res => ( (res => res)(res+3) ) )(res+2) ) )
sum( 0, res => ( res => ( res => ( (res => res)(res+3) ) )(res+2) ) )(res+1) )

// 展开continuation链
( res => ( res => ( res => ( (res => res)(res+3) ) )(res+2) ) )(res+1) )(0)

// 收缩continuation链
( res => ( res => ( (res => res)(res+3) ) )(res+2) )(0+1)
( res => ( (res => res)(res+3) ) )(0+1+2)
(res => res)(0+1+2+3)
6

从上面的展开过程可以看到，sum(x, kont)分为两个步骤：

• 展开continuation链，尾调用函数层层嵌套，先做的continuation在外层，后做的continuation放内层，这也是CPS反人类的原因，人类思考阅读都是线性的（从上往下，从左往右），而CPS则是从外到内，而且外层函数和参数包裹着内层，阅读时还需要眼睛在左右两端不断游离

• 收缩continuation链，不断将外层continuation计算的结果往内层传

当然，现在运行sum(4000000， res => res)，依然会爆栈，因为js默认并没有对尾调用做优化，我们需要利用上面的Trampoline技法将其改成循环形式（上文已经提过，尾递归和循环等价）

可是等等，上面说的Trampoline技法只针对于收缩continuation链过程，可是sum(x, kont)还包括展开过程啊？别担心，可以看到展开过程也是尾递归形式，我们只需稍作修改，就可以将其改成continuation的形式：

( r => sum( x - 1, res => kont(res + x) )(null)

如此便可把continuation链的展开和收缩过程统一起来，写成以下的循环形式：

function trampoline(kont_v)
{
    while(kont_v.kont)
        kont_v = kont_v.kont(kont_v.v);
    
    return kont_v.v;
}

function sum_bounce(x, kont)
{    
    if(x == 0) return {kont: kont, v: 0};
    else return { kont: r => sum_bounce(x - 1, res => {
                                                 return { kont: kont, 
                                                          v: res + x }
                                               } ),
                  v: null };
}

var sum = x => trampoline( sum_bounce(x, res => 
                                            {return { kont: null, 
                                                      v: res } }) )

OK，以上便是改成循环形式的尾递归写法，
把sum(4000000)输入Console，稍等片刻，便能得到答案8000002000000

当然，用bind的话可以改写成更简约的形式：

function trampoline(kont)
{
    while(typeof kont == "function")
        kont = kont();
    return kont.val;
}

function sum_bounce(x, kont)
{    
    if(x == 0) return kont.bind(null, {val: 0});
    else return sum_bounce.bind( null, x - 1, res => kont.bind(null, {val: res.val + x}) );
}

var sum = x => trampoline( sum_bounce(x, res => res) )

也能起到同样的效果

树状递归的CPS变换：Fibonacci

因为Fibonacci是树状递归，转换起来要比线性递归的sum麻烦一些，先写出普通的递归算法：

fib = x => x == 0 ? 1 : ( x == 1 ? 1 : fib(x-1) + fib(x-2) )

同样，当参数过大，比如fib(40000)，就会爆栈

开始做CPS变换，有前面例子铺垫，下面只讲关键点

添加kont参数，则fib = (x, kont) => ...

分情况考虑

当x == 0 or 1，fib = (x, kont) => x == 0 ? kont(1) : ( x == 1 ? kont(1) ...

当x != 1 or 1，需要先计算x-1的fib，再计算出x-2的fib，然后将两个结果相加，然后将kont应用到相加结果上

fib = (x, kont) => 
      x == 0 ? kont(1) : 
      x == 1 ? kont(1) : 
               fib( x - 1, res1 => fib(x - 2, res2 => kont(res1 + res2) ) )

以上便是fib经CPS变换后的尾递归形式，可见难点在于kont的转化，这里需要好好揣摩

最后利用Trampoline技法将尾递归转换成循环形式

function trampoline(kont_v)
{
    while(kont_v.kont)
        kont_v = kont_v.kont(kont_v.v);
    
    return kont_v.v;
}

function fib_bounce(x, kont)
{    
    if(x == 0 || x == 1) return {kont: kont, v: 1};
    else return { 
                  kont: r => fib_bounce( x - 1, 
                                         res1 => 
                                         {
                                            return { 
                                             kont: r => fib_bounce(x - 2,
                                                                   res2 =>
                                                                   { 
                                                                     return  { 
                                                                       kont: kont,
                                                                       v: res1 + res2
                                                                     }
                                                                   }), 
                                             v: null 
                                           }
                                         } ),
                  v: null 
                };
}

var fib = x => trampoline( fib_bounce(x, res => 
                                            {return { kont: null, 
                                                      v: res } }) )

OK，以上便是改成循环形式的尾递归写法，
在console中输入fib(5)、fib(6)、fib(7)可以验证其正确性，

当然，当你运行fib(40000)时，发现的确没有提示爆栈了，但是程序却卡死了，何也？

正如我在前言说过，这种方法并不会降低树状递归算法的时间复杂度，只是将占用的栈空间以闭包链的形式转移至堆上，免去爆栈的可能，但是当参数过大时，运行复杂度过高，continuation链过长也导致大量内存被占用，因此，优化算法才是王道

当然，用bind的话可以改写成更简约的形式：

function trampoline(kont)
{
    while(typeof kont == "function")
        kont = kont();
    return kont.val;
}

fib_bounce = (x, kont) =>
 x == 0 ? kont.bind(null, {val: 1}) : 
 x == 1 ? kont.bind(null, {val: 1}) : 
          fib_bounce.bind( null, x - 1, 
                           res1 => fib_bounce.bind(null, x - 2,
                                                   res2 => kont.bind(null, {val: res1.val + res2.val}) ) )

var fib = x => trampoline( fib_bounce(x, res => res) )

也能起到同样的效果

CPS变换法则

对于基本表达式如数字、变量、函数对象、参数是基本表达式的内建函数(如四则运算等)等，不需要进行变换，

若是函数定义，则需要添加一个参数kont，然后对函数体做CPS变换

若是参数位置有函数调用的函数调用，fn(simpleExp1, exp2, ..., expn)，如exp2就是第一个是函数调用的参数
则过程比较复杂，用伪代码表述如下：(<<...>>内表示表达式， <<...@exp...>表示对exp求值后再代回<<...>>中)：

cpsOfExp(<< fn(simpleExp1, exp2, ..., expn) >>, kont)
= cpsOfExp(exp2, << r2 => @cpsOfExp(<< fn(simpleExp1, r2, ..., expn) >>, kont) >>)

顺序表达式的变换亦与上类似

当然这个问题不是这么容易讲清楚，首先你需要对你想要变换的语言了如指掌，知道其表达式类型、求值策略等，
JavaScript语法较为繁杂，解释起来不太方便，
之前我用C++模板写过一个CPS风格的Lisp解释器，日后有时间以此为例详细讲讲